在离散数学中，素数和合数是整数理论的核心概念，其定义与普通数论一致，但在离散结构中常与逻辑、代数系统等结合应用。以下是对两者的详细解析：
素数（质数）的定义为：大于1的自然数中，除1和自身外无法被其他自然数整除的数。例如，2、3、5、7均为素数。关键性质包括：
1. 唯一分解性：算术基本定理指出，每个合数可唯一分解为素数的乘积（不计顺序）。例如，12 = 2²×3。
2. 无穷性：欧几里得证明素数有无穷多个，例如构造数列 ( p_1p_2cdots p_n + 1 ) 总能生成新素数。
3. 分布特性：素数在自然数中分布不规则，但密度随数值增大而降低（如素数定理）。
合数定义为：大于1的自然数中，除1和自身外至少有一个其他因数的数。例如，4（=2×2）、6（=2×3）等。其核心特征包括：
1. 可分解性：合数可分解为两个及以上素数的乘积。例如，30 = 2×3×5。
2. 分类与结构：合数可进一步分为偶合数（如4、6）和奇合数（如9、15）。偶合数必含素数2作为因子，而奇合数则由奇素数构成。
| 特性 | 素数 | 合数 |
| 因数数量 | 2个（1和自身） | 至少3个 |
| 分解可能性 | 不可分解为更小自然数的乘积 | 可唯一分解为素数的乘积 |
| 例子 | 2, 3, 5, 7, 11 | 4, 6, 8, 9, 10 |
| 在数论中的作用 | 构成自然数的“原子”单位 | 体现数的复合结构 |
1. 逻辑表达式：在命题逻辑中，素数性质可用于构造唯一析取范式，而合数分解对应合取范式的组合。
2. 密码学：素数用于RSA加密算法，依赖大素数分解的困难性；安全素数（如5, 7）则用于增强协议安全性。
3. 集合论与函数：合数的分解过程可类比向量空间中的基向量组合，体现多维结构。
综上，素数与合数的定义虽简洁，但其性质与离散结构中的多样化应用构成了数论和计算机科学的基石。
